المدونة

نعرض أحدث الآراء و التحليلات لأبرز مدوني هافينغتون بوست عربي

عمرو فاروق Headshot

العقيدة الخفية للرياضيات

تم النشر: تم التحديث:

يلخص هذا المقال وما يليه، عدة نقاشات ثرية، أعقبت ما طرحته في مجموعة المقالات الأخيرة عن الرياضيات. تحديدًا: هل فعلًا تقدم الرياضيات تصورًا غير معقول عن اللانهاية؟ وما أهمية نقاش مثل هذا الجدل الفلسفي بالأساس؟ ولماذا تدور عليه صراعات لا تنتهي منذ بدأ التاريخ المكتوب للعلم؟ والسؤال الأهم: ما علاقة موقفنا من اللانهاية بالإيمان؟

الصراع العقائدي الخفي

ببساطة، ولكيلا نسهب في جدل فلسفي كبير؛ فاللانهاية هي «أكبر قيمة، والتي ليس هناك ما هو أكبر منها».

هذا المعنى السهل هو الذي توافق الجميع على فهمه بشكل عام. ستسمعه من الطفل ذي الثماني سنوات، ومن الحاصل على أعلى الدرجات العلمية، بل ستجده بشكل متطابق في أدبيات البشرية، قديمها وحديثها، الإسلامية والمسيحية، وحتى البوذية والهندوسية، ولدى قبائل الصحراء. وستجد الجميع يتعاملون معه بعفوية، كما لو كانت فكرة اللانهاية أقدم بكثير من أي جدل فلسفي حولها. هذا التطابق في الفهم والوصف يكاد لا يتكرر في المعاني المجردة، بل هو أقرب لوصف المشاهدات الفيزيائية، كأنما يصف الناس «الجبل» أو «الماء» مثلًا، والذي يتطابق فيه الوصف العام مع اختلاف الواصفين، ولن تؤثر ثقافاتهم، ولا أيدولوجياتهم على فهمهم لمعناه، مثلما تؤثر على فهمهم للمعاني المجردة؛ مثل «الصداقة» أو «الرجولة» أو «الجمال».

ولكن هذا التعريف البسيط مثَّل تحديًا كبيرًا أمام الفلاسفة والعلماء؛ فهو يحتوي على العديد من الاتفاقات الضمنية، التي لا تتوافق مع المنهج العلمي التجريبي، وبعض المناهج الفلسفية، والتي تقتصر على الفهم المادي.

فهذا التعريف يتضمن اتفاقًا ضمنيًا على شرعية المعرفة التي وصلنا لها بالحدس، وبدون الانتظار لدليل مادي أو منطقي، بل في بعض الأحيان، بالرغم من تعارض الدليل. وهو أمر غير متوافق مع المنهج العلمي المنطقي؛ إذ إن شرعيته مقصورة على ما استطاعوا إقامة دليل عقلي أو تجريبي عليه.

كما أن الإيمان بهذا التعريف ينطوي على القبول بتعريف عام غير محكم، لا يُفهَم بشكل حرفي، ولكن تُحَدد حوافه كل مرة حسب السياق. وهو أمر آخر متعارض مع المنهج العلمي التقليدي؛ والذي لا يقيم وزنًا، إلّا لما يمكن تعريفه بشكل منضبط رقميًا أو منطقيًا (وإن كان هذا الشرط لم يعد ضروريًا في كثير من المناهج العلمية الحديثة كما هو موضح في الهوامش)١.

والأهم أن هذا التعريف ينطوي على قبول المعرفة، دون اشتراط وجود تفسير مادي لها، بل بالرغم من تناقضها مع الوجود المادي. وهو أمر له تبعات عقائدية ومعرفية ضخمة. بمعنى أوضح، فهذا اعتراف ضمني أن اللانهاية مفهوم ميتافيزيقي، وهو الأمر الذي يخرج بها عن نطاق المنهج العلمي المادي أصلًا. والكثير من العلماء والفلاسفة ليس لديهم مشكلة في الاعتراف بالوجود الميتافيزيقي، هم فقط يتوقفون عن دراسته باعتباره غير خاضع للمنهج العلمي المادي. إلا أنه على مر العصور يحاول كثير من الفلاسفة الماديين، وكذا العلماء المتفلسفين، الجدل لنفي وجود الميتافيزيقا أصلًا، ومحاولة ترويج أن ما لا يمكن دراسته بالمنهج العلمي المادي غير موجود.

بهذا التفصيل يتضح أن الصراع حول مفهوم اللانهاية - والذي يبدو سطحيًا كجدل سفسطي - يخفي داخله صراعًا عقائديًا فاصلًا. فالصراع الحقيقي هو بين عقيدتين متحاربتين منذ أقدم العصور، ولنسميهما تبسيطًا: «عقيدة المعرفة الحدسية» و«عقيدة المعرفة المادية»٢. ولكل منهما فلاسفته وعلماؤه، ولكل منهما أيضًا مريدوه من العامة.

فمن ناحية؛ فإن المنهج المعرفي الحدسي يبدو كما لو كان عقيدة مشتركة يعتنقها بشكل عفوي كل البشر على مر العصور، وعلى تناقض دياناتهم وثقافاتهم، أو حتى انعدامها، ويتبناها قطاع واسع من العلماء والفلاسفة. وتتضمن عدم اشتراط تفسيرات مادية لكل مفردات الحياة، والإيمان الضمني بوجود ميتافيزيقي خارج عن نطاق الإدراك الحسي. كما يتضمن فهم الوجود بشكل غير حرفي وجامد، ولكن فهم سائل تتحدد حوافه في كل موقف حسب السياق.

ومن ناحية أخرى، هناك منهج معرفي مادي صارم، يقصر المعرفة على ما أمكن إقامة الدليل المادي عليه، ولا يتعاطى إلا مع ما يمكن تعريفه بشكل رياضي منضبط بما يكفي لقياسه وتفسيره ماديًا. وهو في الأصل منهج علمي مفيد، ومقصود استخدامه في الدراسات الطبيعية، ولكنه تحول مع الوقت من منهج علمي إلى عقيدة؛ عندما روّج الفلاسفة الماديون لاستخدام هذا المنهج خارج مجاله الأصلي؛ لإيجاد تفسير مادي للأمور غير المادية. فانتهوا إلى عدم الاعتراف بوجود ما لا يستطيعون دراسته ماديًا.

اللانهاية كواجهة أنيقة للصراع

أحد أهم حلبات الصراع بين هاتين العقيدتين هي مفهوم اللانهاية؛ والذي بدأ منذ أول لحظة، كمفهوم متناقض مع التفسير المادي، ويأبى على الاحتواء داخل المنطق الرياضي التقليدي الجامد. ولهذا فقد أخذ العلماء من الفريقين في محاولة وضع تعريفات للانهاية تتوافق مع المنهج العلمي، وفي نفس الوقت دون تقديم تنازلات عقائدية؛ فأنتجوا لنا أنواعًا عديدة من اللانهاية «الحقيقية، والمتخيلة، الهندسية، التفاضلية، المعدودة، غير المعدودة، غير المعرفة .... الخ».

فمثلًا، لكي يتجنب «أرسطو» الصراع بين العقيدتين، اتخذ موقفًا أقرب للربوبيين في يومنا هذا؛ فاعترف بوجود اللانهاية الميتافيزيقية بتبعاتها العقائدية؛ كوجوب وجود خالق «أو محرك أول» كامل، ولكن كوجود منفصل خارج الكون، من الضروري وجوده، ولكن لا نتفاعل معه، ولا ندركه بشكل مباشر. وإن اللانهاية التي نتداولها هي لا نهاية محتملة، وهي أقرب إلى كونها فكرة متخيلة، ولا يمكن أن تتحقق في عالمنا المادي.

على العكس من أرسطو فقد اختار بعض العلماء أن يخوضوا الصراع بدلًا من تجنبه؛ فأنتجوا لنا إحدى القصص الجوهرية الموثقة في تاريخ الصراع الخفي بين العقيدتين المادية والحدسية *، كانت بدايتها بين اثنين من علماء الرياضيات أنفسهم.

في سنة ١٦٣٥، قام الرياضي الإيطالي «كاڤاليري»، وهو أحد تلاميذ «جاليليو»، ويمثل هنا عقيدة المعرفة الحدسية، بطرح فكرة لأول مرة؛ بأن كل الأشكال يمكن أن تُقسَّم إلى عدد لا نهائي من المسطّحات، وكل مسطَّح يمكن تقسيمه لعدد لانهائي من الخطوط. وهي نفسها الفكرة المبني على أحد صورها أيضًا أن الخطين المتوازيين يتلاقيان في اللانهاية، والتي ندرسها اليوم لطلبة المرحلة الإعدادية كأحد أسس الرياضيات. وهي أيضًا نفس الفكرة المبني عليها قاعدة تساوي عدد النقاط في خطين غير متساويين، والتي ذكرتها في افتتاح مقالات الرياضيات.

و لكن الرياضي السويسري «جالدين»، وهو يمثل العقيدة المادية، لم يقتنع بهذه القاعدة، وصنّف كتابًا لمهاجمة فكرة كاڤاليري؛ مدعيًا أنه لم يستخدم الرياضيات بالشكل الشرعي؛ حسب ما تنص عليه الرياضيات الكلاسيكية. وبهذا بدأت سنوات من الجدال المستعر بينهما من خلال مؤلفاتهما. والأسباب الظاهرة لهذا الجدل لم تكن لتفسر مثل هذا التشبث بالمواقف، والذي كان في بعض الأحيان غير مبرر وغير علمي، إلا أن الصراع الخفي كان صراعًا عقائديًا بين المادي المنطقي والميتافيزيقي الحدسي.

فالرياضيات التقليدية، ذات المنظور المادي، والتي كان يدافع عنها جالدين، تقوم على البدء من وحدات بناء معروفة مسبقًا، ثم البناء عليها؛ للوصول لطرح أكثر تعقيدًا. فنبدأ من مسلمات (مثل شكل الخط المستقيم)، ثم نبدأ خطوة بخطوة نبنيها فوق بعضها؛ لنصل لشكل أكثر تعقيدًا (مثلًا مربع)، ثم نبني به لنصنع ما هو أكثر تعقيدًا (مثلًا مكعب). إلا أن كالڤيري بدأ بنهج مخالف لما هو معروف في رياضيات عصره؛ فقد بدأ بالشكل المعقد (المكعب)، وثم بدأ يحلّله إلى مكوناته (مربعات)، ثم حلّله، حتى وصل في تحليله إلى عدد لا نهائي من الخطوط. وبالتالي قدّم لأول مرة طرح رياضي حدسي، يتعامل مع الوجود بتعقيده (المكعب)، ويتدرج في تحليله إلى أن يصل لوحدات بنائه، حتى وإن قاده هذا إلى حدوده الميتافيزيقية مثل اللانهاية.

هذا التصور استثار جالدين ولم يقبله. فجالدين المادي يسعى لإيجاد آلية جامدة لبناء هيكل معرفي محكم مبني على بعضه بشكل منطقي حتمي، ومتسق مع التعريف المادي للوجود؛ ولهذا جادل لينفي ما هو أدق من أن يدركه (ما دون الخط)، وينفي ما هو أشمل من أن يحيط به (الامتداد اللانهائي للوجود)؛ ليحصر المعرفة الرياضية في آليات حتمية يمكن ضبط بدايتها وبنائها. بينما على العكس، فكالڤيري المتدين يريد أن يفهم حقيقة العالم المعقدة، ولا يخشى أن يصطدم باللانهاية أو بالميتافيزيقا، بل يريد أن يبني صورة للعالم متدرجة تصل للميتافيزيقا وتترتب عليها.

وكما يحدث في معظم هذه الصراعات، فقد مات الاثنان وكل منهما مقتنع برأيه. وما لم يعرفاه هو أن رأي كالڤيري انتصر بعدها بسنوات معدودة، بل إنه كان الطرح الذي تأسس عليه فيما بعد علم التفاضل والتكامل الرياضي، علي يد العالم الإنجليزي الشهير السير «إسحق نيوتن»، والذي قرر أن يخوض هذا الصراع بين العقيدتين المادية والميتافيزيقية إلى آخره، لا لينتصر لواحدة على حساب الأخرى، كما فعل كالڤيري وجالدين، ولا بأن يتجنب الصراع ويصفهما كعالمين مستقلين عن بعض، كما فعل أرسطو. بل بدمجهما في تصور واحد قادر على توحيد ما يبدو تناقضًا بين الفهمين. فطوّر لغة رياضية جديدة، يمكنها أن تصف رياضيًا الواقع المادي، وتتعامل مع سيولته التي طالما رفضها الماديون من قبله (وهي حساب التفاضل والتكامل). وأصبح من الممكن رياضيًا التعامل مع منهج كالڤيري التحليلي (الذي يبدأ من المكعب وينتهي بالخط، وليس العكس). وبهذا استطاع نيوتن أن يضع تصورًا للوجود يدمج السيولة اللانهائية لتفاصيل الوجود، ويبني عليها حركة الكون بشكل متدرج ليصل إلى بادئ الحركة الذاتي ذي الصفات اللانهائية بشكل مطلق، كما وصفه في النص الذي أوردناه في مقال سابق.

وفيما بعد قام عبقري الرياضيات «جورج كانتور» بالمساهمة في هذا الصراع المحتدم بين علماء الرياضيات؛ بتطوير اللانهاية المقيدة bounded في مجموعات، ومن ثم أخضعها للحساب، وأصبح من الممكن استخدامها تطبيقيًا بشكل عملي. وإن كان كانتور اشترط كي تكون لهذه اللانهاية معنى حقيقي أن يكون هناك نوع آخر من اللانهاية، هو اللانهاية المطلقة، ولا يمكن إدراكها ولا عدها، وهي تمثل الإله نفسه (كما قال كانتور). إلا أن اللانهاية المطلقة جذبت الكثير من الانتقاد لنظريته.

وهكذا يمكننا أن نسترسل في سرد بعض السجال العلمي بين كلا الفريقين، حول طبيعة اللانهاية، والذي لم ينتهِ إلى يومنا هذا. وهذا الصراع في الأصل يهدف إلى إيجاد صيغ موضوعية لللانهاية يمكن إخضاعها للمنهج العلمي. وهو نقاش مشروع ومهم. ولكنه لطالما كان يستعر كواجهة أنيقة للحرب بين عقيدتين تملك كلًا منهما نظرة مختلفة لطبيعة الوجود والمعرفة. فكل منهما يبدأ سعيه العلمي بأن يقرر أي معارف لها شرعية وحجية؛ الحدس والمنطق أم المنطق فقط؟ وماهي طبيعة الوجود؛ هل هو مادي فقط أم أنه ميتافيزيقي أيضًا؟، والاختيار بين هاتين العقيدتين لا يمكن حسمه بمعادلة رياضية أو بتجربة علمية، بل هو اختيار فلسفي وعقائدي.

وبالفعل، فالماديون معذورون في اعتقاداتهم، فإن كان اعتقادك أن الوجود لا يتعدى المادة، فمن الحمق أن تعتمد على الحدس كمصدر شرعي للمعرفة، وإن كانت اختياراتك الفلسفية هي وجود مادي ومعرفة منطقية وحتمية؛ فمن الطبيعي أن تدافع باستماته عن أي نظرية علمية تفسر العالم بالشكل الذي تؤمن به حتى وإن لم يكن عليها أي أدلة. وهذا أيضًا ما يفعله المؤمنون بعقيدة الحدس. كل هذا مبرر تمامًا، وهو ما عليه البشر منذ قديم الأزل؛ صراع عقائد!

ولكن التطور البائس وغير المبرر؛ هو أن يحاول الماديون ترويج اختياراتهم الفلسفية كأنها منتجات علمية قطعية، وينفون وجود ما لا يمكن لمنهجهم دراسته، أو تكوين رأي عنه أصلًا، ومن غير المبرر أن يحاولوا احتكار الحقيقة إعلاميًا، وهو ما سنفصل فيه بإذن الله في المقال القادم.

الهوامش العلمية.

1. تختلف التعريفات وأسس التنظير في المناهج العلمية التقليدية عن علوم التعقيد complex sciencesوالتي تتعامل مع الشكل الديناميكي المعقد للحياة لا على مستوى التجارب فقط. ولكن ايضا على مستوى التنظير والتعريفات complex conceptualization

- فتحتوي على تعريفات لما تدرسه بشكل احتمالي غير قاطع مثل الكمومية quantum

- او استخدام برامج المحـاكاة لإيجاد متغيرات غير ثابتة بل متغيرة حسب السياق contextual definition

- وبذا فهي تستطيع التعامل مع التعريفات بشكل غير معمم على قطاع class كامل من الأشياء او الافراد agents بل فردية وكل فرد في مجتمع ما له تعريف لا يتكرر. وهو أقرب لما تراه في الواقع من خصوصية وتفرد كل شيء وكل موقف idiosyncratic attributes. وبذا تستطيع هذه المناهج أن تقترب من الواقع وتصفه كما هو، لا أن تختزله في شكل ألفاظ مجردة.

- كما تتجنب بشكل محدد مسبقا وحتمي واحادي الاتجاه not deterministic, and non-linearولكن بشكل سببي causalومتشابك مع بقية المتغيرات interdependence among variables, and causal feedbacks

وهذا الشكل الجديد بدأه الفريد وايتهاوس استاذ راسل ولكن لتعقيده لم نستطع تطبيقه على المناهج العلمية إلا مع تطور الكمبيوترات من بداية السبعينات، والآن هو الشغل الشاغل لجامعة مثل MIT إعادة كتابة المناهج العلمية بهذا الشكل الديناميكي. وينجح بالفعل في إعادة كتابة العلوم واحد بعد آخر.

2. للتبسيط اخترنا تسمية المنهجين بالعقيدة الحدسية والعقيدة المادية دلالة الاسمين في الفهم العام الغير متخصص. الا ان هذه الاسماء فلسفيا غير منضبطة فكلا من المنهجين يحتوي على نطاق واسع من الاختيارات المعرفية والوجودية وليس فقط الحدس والمنطق. بل إن كلاهما يستخدم تشكيلة من الادوات الحدسية والمنطقية سويا ولكن في مواضع مختلفة وبدرجات يقين مختلفة. كما أن العقيدة المادية رغم انه يكثر (ان لم يغلب) أن ينتمي لها الملحدين، الا ان كثير من المنتمين لها مؤمنين، والعكس صحيح.

المصادر.

- شرح للتفرقة بين عدة أنواع من النهايات

- وجهة نظر أرسطو في اللانهاية الحقيقية، والانتقادات لها وظهور نظرية المجموعات الكلاسيكية

- وجهة نظر أرسطو في المبدئ و حتمية الوجود الميتافيزيقي

- تسمية أرسطو للمبدأ بالإله

- نيوتن يعتبر المكان و الزمان نفسهم لا نهائيين و مقارنته بأرسطو و جاليليو

- تاريخ الصراع العقائدي للتفاضل والتكامل بين كڤاليري و جالدين

- شرح اللانهاية الهندسية مثل أن الخطين المتوازيين يتقابلان في اللانهاية

- إثبات رياضي وهندسي بتساوي النقاط في الخطين المختلفين الطول

- موسوعة ستانفورد للفلسفة تناقش تطور مفهوم التواصل continuum ولا نهاية الصغر نظريا وتطبيقيا على مر العصور

- نص استدلال نيوتن على الله و صفاته

- منشور من هارفارد برس يقدم فيه أحد أهم الرياضيين العالميين (دكتور داوبن) لفلسفة اللانهاية الحقيقية و المطلقة، المعدودة و الغير قابلة للعد عند جورج كانتور وانتقاداتها و تأثيرها وتأثرها بطبيعة الرياضيات و تبعاتها العقائدية على وجود الله و القبول و الرفض لهذا.

- شرح دكتور ستيفين هاوكينج لان للزمن بداية ( مقتطفات من تفريغ لمحاضرة له من موقعه الرسمي)

ملحوظة:

التدوينات المنشورة في مدونات هافينغتون بوست لا تعبر عن وجهة نظر فريق تحرير الموقع.